Écriture scientifique – Cours & Exercices

Le cours (essentiel) 💡

L'écriture scientifique est le produit d'un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) par une puissance de 10. Elle se présente sous la forme :

$a\times10^{n}$

$a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ ;
$n$ est un entier relatif (positif, négatif ou nul).

✅ Exemples corrects

$3,6 \times 10^8$
$4,7 \times 10^{-2}$
$1,12 \times 10^{4}$

❌ Exemples incorrects

$35 \times 10^3$ (car $a \ge 10$)
$0,25 \times 10^4$ (car $a < 1$)
$10^8$ (manque le "$a \times$")
$4,51$ (manque la puissance de 10)

Méthode et Exercices ✍️

Méthode

Pour mettre un nombre en écriture scientifique, suivez ces deux étapes :

Trouver le nombre a
Écrivez un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) en utilisant les chiffres importants du nombre de départ.
Trouver l'exposant n
L'exposant est déterminé par l'ordre de grandeur du nombre :
- Si le nombre est grand (> 10), n est positif et correspond au nombre de chiffres situés après le premier jusqu'au chiffre des unités compris.
- Si le nombre est petit (< 1), n est négatif et correspond au nombre de zéros (en incluant celui des unités) avant le premier chiffre non nul.

Exemples d'application

Pour le nombre 721,3 :

On forme a → 7,213.
C'est un grand nombre. Après le 7, il y a 2 chiffres (2 et 1) jusqu'aux unités. L'exposant est +2.

Résultat : $7,213 \times 10^2$

Pour le nombre 0,085 :

On forme a → 8,5.
C'est un petit nombre. Il y a 2 zéros avant le 8 (le zéro des unités et celui des dixièmes). L'exposant est -2.

Résultat : $8,5 \times 10^{-2}$

Exercice d'application

$721,3$
$0,085$
$458\,000\,000$
$0,000\,085$
$39\,810\,000\,000$

Afficher la correction détaillée ✨

$721,3 = \mathbf{7,213 \times 10^2}$Grand nombre. Après le '7', il y a 2 chiffres jusqu'aux unités. Exposant : +2.
$0,085 = \mathbf{8,5 \times 10^{-2}}$Petit nombre. Il y a 2 zéros avant le '8'. Exposant : -2.
$458\,000\,000 = \mathbf{4,58 \times 10^8}$Grand nombre. Après le '4', il y a 8 chiffres jusqu'aux unités. Exposant : +8.
$0,000\,085 = \mathbf{8,5 \times 10^{-5}}$Petit nombre. Il y a 5 zéros avant le '8'. Exposant : -5.
$39\,810\,000\,000 = \mathbf{3,981 \times 10^{10}}$Grand nombre. Après le '3', il y a 10 chiffres jusqu'aux unités. Exposant : +10.

Problèmes d'application 🧠

Problème 1 – Année‑lumière 🌌

La vitesse de la lumière est d’environ $3\times10^{5}\;\text{km/s}$. Quelle distance parcourt la lumière en un an ?

Voir la solution 👀

1. Calculer le nombre de secondes dans une année :
$Temps = 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31\,536\,000 \text{ s}$
En notation scientifique : $3,1536 \times 10^7$ s.

2. Calculer la distance ($Distance = Vitesse \times Temps$) :
$D = (3\times10^5) \times (3,1536 \times 10^7)$
$D = (3 \times 3,1536) \times (10^5 \times 10^7)$
$D = 9,4608 \times 10^{12} \text{ km}$

Problème 2 – Soleil ⇄ Terre ☀️

La distance Soleil-Terre est d’environ $1,5\times10^{8}\;\text{km}$. Combien de temps la lumière met‑elle pour nous parvenir ? (Vitesse de la lumière : $3\times10^{5}\;\text{km/s}$)

Voir la solution 👀

1. Poser la formule ($Temps = \frac{Distance}{Vitesse}$) :
$T = \frac{1,5\times10^8}{3\times10^5}$

2. Calculer le temps en secondes :
$T = \frac{1,5}{3} \times \frac{10^8}{10^5}$
$T = 0,5 \times 10^{8-5}$
$T = 0,5 \times 10^3 = \mathbf{500 \text{ secondes}}$

3. Convertir en minutes et secondes :
$500 \div 60 = 8$ avec un reste de $20$.
Le temps est donc de 8 minutes et 20 secondes.