Rédaction : Emboîté (Réciproque) vs Papillon (Contraposée)
Énoncé : On donne : $\red{BC = 5}$, $\blue{BD = 7,5}$, $\red{BF = 6}$, $\blue{BE = 9}$.
Question : Les droites (CF) et (DE) sont-elles parallèles ?
Énoncé : On donne : $\red{CD = 4}$, $\blue{CB = 9}$, $\red{CE = 3}$, $\blue{CA = 7}$.
Question : Les droites (DE) et (AB) sont-elles parallèles ?
Les points B, C, D et B, F, E sont alignés dans le même ordre.
Les points D, C, B et E, C, A sont alignés dans le même ordre.
Les triangles $\red{BCF}$ et $\blue{BDE}$ sont en configuration emboîtée.
Les triangles $\red{CDE}$ et $\blue{CBA}$ sont en configuration papillon.
On compare les rapports $\frac{\red{BC}}{\blue{BD}}$ et $\frac{\red{BF}}{\blue{BE}}$.
On compare les rapports $\frac{\red{CD}}{\blue{CB}}$ et $\frac{\red{CE}}{\blue{CA}}$.
D'une part, $\frac{\red{BC}}{\blue{BD}} = \frac{\red{5}}{\blue{7,5}}$.
D'autre part, $\frac{\red{BF}}{\blue{BE}} = \frac{\red{6}}{\blue{9}}$.
D'une part, $\frac{\red{CD}}{\blue{CB}} = \frac{\red{4}}{\blue{9}}$.
D'autre part, $\frac{\red{CE}}{\blue{CA}} = \frac{\red{3}}{\blue{7}}$.
On utilise le produit en croix :
$\red{5} \times \blue{9} = \mathbf{45}$
$\blue{7,5} \times \red{6} = \mathbf{45}$
Les produits en croix sont égaux, donc $\frac{BC}{BD} = \frac{BF}{BE}$.
On utilise le produit en croix :
$\red{4} \times \blue{7} = \mathbf{28}$
$\blue{9} \times \red{3} = \mathbf{27}$
Les produits en croix ne sont pas égaux, donc $\frac{CD}{CB} \neq \frac{CE}{CA}$.